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2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo)I卷）

數(shù)學(xué)

本試卷共10頁，19小題，滿分150分.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1. 已知集合，則（    ）

A.  B.  C.  D.

2 若，則（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知向量，若，則（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

4. 已知，則（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知函數(shù)為，在R上單調(diào)遞增，則a取值的范圍是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（    ）

A. 3 B. 4 C. 6 D. 8

8. 已知函數(shù)為的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論中一定正確的是（    ）

A.  B.

C.  D.

二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分. 在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求. 全部選對得 6 分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9. 為了解推動(dòng)出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布，假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入服從正態(tài)分布，則（    ）（若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，）

A  B.

C.  D.

10. 設(shè)函數(shù)，則（    ）

A. 是的極小值點(diǎn) B. 當(dāng)時(shí)，

C. 當(dāng)時(shí)， D. 當(dāng)時(shí)，

11. 造型可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中曲線C的一部分.已知C過坐標(biāo)原點(diǎn)O.且C上的點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)大于，到點(diǎn)的距離與到定直線的距離之積為4，則（    ）

A.  B. 點(diǎn)在C上

C. C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1 D. 當(dāng)點(diǎn)在C上時(shí)，

三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.

12. 設(shè)雙曲線左右焦點(diǎn)分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為___________．

13. 若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則__________.

14. 甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為_________.

四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15. 記內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，

（1）求B；

（2）若面積為，求c．

16. 已知和為橢圓上兩點(diǎn).

（1）求C的離心率;

（2）若過P的直線交C于另一點(diǎn)B，且的面積為9，求的方程．

17. 如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．

（1）若，證明：平面；

（2）若，且二面角的正弦值為，求．

18. 已知函數(shù)

（1）若，且，求的最小值；

（2）證明：曲線中心對稱圖形；

（3）若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．

19. 設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．

（1）寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；

（3）從中一次任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．