絕密★本科目考試啟用前

2024年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題（北京卷）

本試卷共12頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題  共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．

1. 已知集合，，則（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 已知，則（    ）．

A.  B.  C.  D. 1

3. 求圓的圓心到的距離（    ）

A.  B. 2 C.  D.

4. 的二項展開式中的系數(shù)為（    ）

A. 15 B. 6 C.  D.

5. 已知向量，，則“”是“或”的（    ）條件．

A. 必要而不充分條件 B. 充分而不必要條件

C. 充分且必要條件 D. 既不充分也不必要條件

6 已知，，，，則（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7. 記水質量為，并且d越大，水質量越好．若S不變，且，，則與的關系為（    ）

A.

B.

C. 若，則；若，則；

D. 若，則；若，則；

8. 已知以邊長為4的正方形為底面的四棱錐，四條側棱分別為4，4，，，則該四棱錐的高為（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知，是函數(shù)圖象上不同的兩點，則下列正確的是（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 若集合表示的圖形中，兩點間最大距離為d、面積為S，則（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

第二部分（非選擇題  共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11. 已知拋物線，則焦點坐標為________．

12. 已知，且α與β的終邊關于原點對稱，則的最大值為________．

13. 已知雙曲線，則過且和雙曲線只有一個交點的直線的斜率為________．

14. 已知三個圓柱體積為公比為10的等比數(shù)列．第一個圓柱的直徑為65mm，第二、三個圓柱的直徑為325mm，第三個圓柱的高為230mm，求前兩個圓柱的高度分別為________．

15. 已知，，不為常數(shù)列且各項均不相同，下列正確的是______.

①，均為等差數(shù)列，則M中最多一個元素；

②，均為等比數(shù)列，則M中最多三個元素；

③為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多三個元素；

④單調遞增，單調遞減，則M中最多一個元素

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16. 在△ABC中，，A為鈍角，．

（1）求；

（2）從條件①、條件②和條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求△ABC的面積．

①；②；③．

注：如果選擇條件①、條件②和條件③分別解答，按第一個解答計分．

17. 已知四棱錐P-ABCD，，，，，E是上一點，．

（1）若FPE中點，證明：平面．

（2）若平面，求平面與平面夾角的余弦值．

18. 已知某險種的保費為萬元，前3次出險每次賠付萬元，第4次賠付萬元

在總體中抽樣100單，以頻率估計概率：

（1）求隨機抽取一單，賠償不少于2次的概率；

（2）（i）毛利潤是保費與賠償金額之差．設毛利潤為，估計的數(shù)學期望；

（ⅱ）若未賠償過的保單下一保險期的保費下降，已賠償過的增加．估計保單下一保險期毛利潤的數(shù)學期望．

19. 已知橢圓方程C：，焦點和短軸端點構成邊長為2的正方形，過的直線l與橢圓交于A，B，，連接AC交橢圓于D．

（1）求橢圓方程和離心率；

（2）若直線BD的斜率為0，求t．

20. 已知在處切線為l．

（1）若切線l的斜率，求單調區(qū)間；

（2）證明：切線l不經(jīng)過；

（3）已知，，，，其中，切線l與y軸交于點B時．當，符合條件的A的個數(shù)為？

（參考數(shù)據(jù)：，，）

21. 設集合．對于給定有窮數(shù)列A和序列Ω：，，···，，，定義變換T：將數(shù)列A的第，，，列加1，得到數(shù)列；將數(shù)列的第，，，列加1，得到數(shù)列…；重復上述操作，得到數(shù)列，記為Ω（A）．若為偶數(shù)，證明：“Ω（A）為常數(shù)列”的充要條件為“”．